Menggabungkan nilai standar deviasi

29Mei08

Melanjutkan tulisan yang ini, hanya saja untuk sekarang kasusnya adalah diketahui statistik dari n buah kelompok (rata-rata, banyaknya data, dan standar deviasi). persoalannya adalah bagaimana jika ingin menghitung statistik keseluruhan hanya berdasarkan data statistik saja tanpa perlu menghitung ulang dari keseluruhan data yang ada satu-per-satu.

Untuk menghitung rata-rata gabungan tentunya sangat mudah, yaitu dengan menghitung kembali jumlah seluruh data dari banyaknya data dan rata-rata.

rata-rata = jumlah_nilai / banyaknya_data
yang ekivalen dengan
rata-rata * banyaknya_data = jumlah_nilai

selanjutnya kita menjumlahkan jumlah_nilai dari seluruh data menjadi jumlah_nilai_gabungan dan banyaknya_data menjadi banyaknya_data_gabungan sehingga untuk menghitung rata-rata_gabungan cukup menggunakan persamaan

rata-rata_gabungan = jumlah_nilai_gabungan / banyaknya_data_gabungan

Lalu bagaimana caranya menghitung standar deviasi gabungan?

Seperti kita merekonstruksi jumlah_nilai dari banyaknya_data dan rata-rata, maka sesuai dengan persamaan di tulisan terdahulu maka kita perlu merekonstruksi nilai dari variabel jumlah dari kuadrat nilai (sum of square)

misalkan :
n = banyaknya data
sum = jumlah nilai
m = rata-rata nilai dari n
sumsq = jumlah dari kuadrat nilai
s = standar deviasi

diketahui persamaan:

1. m = sum / n
2. s² = (n * sumsq – sum²) / ( n * (n – 1))

maka nilai sumsq dapat diketahui dari persamaan:
(s² * n * (n – 1) + sum²) / n = sumsq

dari persamaan (1) maka nilai sum dapat disubtitusi dengan
m * n

maka persamaan tadi menjadi
(s² * n * (n – 1) + m² * n²) / n = sumsq

distribusi n ditarik keluar sehingga menjadi
(s² * (n – 1) + m² * n) = sumsq

nah, dari sini kita perlu mendefinisikan nilai-nilai gabungan yaitu

n’ = n₁ + n₂ + n₃ + … + n_k

yang berlaku juga untuk variabel sum dan sumsq

oleh sebab itu untuk menghitung standar deviasi gabungan dilakukan dengan menggunakan persamaan

s’² = (n’ * sumsq’ – sum’²) / (n’ * (n’ – 1))

Filed under: programming, work   |  2 Comments
Tags: aljabar, standar deviasi, statistik, statistik gabungan